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Los sistemas dinámicos contienen herramientas que permiten la comprensión de los modelos en las ciencias experimentales. Muchos de ellos son inducidos y formulados mediante los sistemas dinámicos continuos que se obtienen de las ecuaciones diferenciales (flujos). La finalidad de este proyecto es avanzar en el conocimiento de estos sistemas poniendo especial énfasis en: (a) Teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales: Retrato de fase, Centro, ciclos límites, el infinito. (b) Curvas analíticas bidimensionales: Módulo de torsión, foliaciones, singularidad, separatriz.
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Una foliación de codimensión uno es algebraica si, a menos de automorfismo, está definida por una uno forma polinomial. En este proyecto proponemos caracterizar las foliaciones algebraicas de codimensión uno generadas por acciones afines.
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Estudiamos apliaciones de dimensión 1 tangentes a una foliación de codimensión 1 con grupo de automorfismo finito.
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El proyecto esta destinado a estudiar foliaciones holomorfas singulares con grupo de automorfismo finito sobre espacios de dimensiones bajas (2 y 3). Específicamente en el caso que el espacio sea de dimensión tres, responderemos y estudiaremos las siguientes preguntas: ¿Qué condiciones sobre las singularidades de la foliación determinan si tienen o no variedades algebraicas invariantes? ¿Este tipo de foliaciones pueden tener integrales primeras Liouvillianas? También estudiaremos sobre el espacio de dimensión dos, dado un grupo de automorfismo del espacio proyectivo un interesante reto seria determinar todas las foliaciones holomorfas de grado mínimo invariantes por estos grupos. Otro objetivo será estudiar las foliaciones en el plano proyectivo de dimensión de Kodaira negativa , cero , uno o dos sin recurrir a la resolución de las singularidades de la foliación. Esto parece ser posible para foliaciones de grados bajos.
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Las foliaciones holomorfas de codimensión uno nilpotentes en (C3, 0), definidas por XdX+..., siempre tienen una superficie invariante (separatriz) del tipo S: Z2+f(X,Y)=0 [FMN], [L] en nuestro articulo [FM] nosotros estudiamos este tipo de foliaciones suponiendo que la superficie S es casi ordinaria y la foliación es del tipo superficie generalizada [FM1]. Nosotros complementaremos este estudio en el caso que la foliación no es superficie generalizada, este tipo de foliaciones admiten las singularidades mas complicadas de las foliaciones holomorfas: dicriticas y sillas nodos [CC], [C].
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El presente proyecto propone el estudio de la dinámica local de un germen de foliación holomorfa singular, principalmente en dimensión compleja 2. El objetivo es realizar un aporte a la clasificación analítico-topológica de estos objetos, así como a la comprensión de la dinámica de los mismos.
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Para las foliaciones holomorfas singulares de codimensión uno inducidas por acciones del grupo afín, de la línea compleja, sobre el espacio afín complejo de dimensión tres. Proponemos estudiar sus singularidades que se linealizan globalmente en el espacio afín y caracterizar la existencia de separatrices para estas foliaciones.
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Formas Normales de Foliaciones en una vecindad de una singularidad aislada
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