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We propose a scientific collaboration between research teams and young investigators in Toulouse, Lima and Belo Horizonte, with a focus on holomorphic dynamics (both continuous and discrete) and on the algebro-geometric study of singular holomorphic foliations.
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El proceso de rango cero (zero range process) es un sistema estocástico de partículas sin restricciones sobre el número de partículas por sitio y donde la tasa g(.) de salto de una partícula sólo depende del número de partículas que la acompañan. Existe una extensa bibliografía sobre este proceso estocástico y sus aplicaciones en mecánica estadística, teoría de colas y flujo de tráfico entre otras. Ver por ejemplo el libro [KL]. Cuando la tasa de salto g(.) decrece con el número de partículas se crea un efecto de atracción entre ellas. En este caso, ocurre un fenómeno que en la literatura física es llamado condensación. Este fenómeno consiste en ver que, en el equilibrio del sistema, las partículas se concentran en un sólo sitio. Este grupo de partículas concentradas en un sitio es llamado condensado de partículas. En el artículo [BL] estudiamos el comportamiento del condensado de un proceso de rango cero sujeto al fenómeno de condensación y donde el número de sitios k no depende del número N de partículas (volumen finito). En la escala de tiempo adecuada probamos que, cuando N va a infinito, la posición del condensado de partículas evoluciona como un proceso de Markov sobre los k sitios. En este proyecto consideramos el mismo proceso ahora en una escala de tiempo menor. Esta escala de tiempo será la adecuada para estudiar otro aspecto de la condensación llamado nucleación, es decir, la trayectoria seguida por el proceso hasta que el condensado de partículas se origina. Nuestro objetivo es probar que la nucleación ocurre en la escala de tiempo N^2. Además, describiremos el comportamiento del proceso durante la nucleación. En particular, probaremos las siguientes dos propiedades: (1) si en algún instante la densidad de partículas en un sitio llega a ser nula, continuará siendo nula hasta el fin de la nucleación y (2) los sitios con densidad positiva compiten entre ellos siguiendo una difusión de Ito hasta que uno de los sitios se vacía (densidad nula).
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Nosotros investigaremos las posibles formas normales de los campos logaritmos de curvas que no son casi homogéneos, esto es, hallaremos coordenadas analíticas, mediante las cuales estos campos logarítmicos tienen una expresión simple y única.
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El presente proyecto propone el estudio de la dinámica local de un germen de foliación o campo analítico en las cercanías de una singularidad. Trataremos principalmente sistemas en dimensión 2 y 3 y el objetivo es realizar un aporte a la clasificación analítico-topológica de estos sistemas así como a la comprensión de la dinámica de estos objetos
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La teoría de los sistemas dinámicos tiene herramientas que permiten comprender los modelos en las ciencias experimentales. Muchos de ellos son inducidos por ecuaciones diferenciales. La finalidad de este proyecto es avanzar en el conocimiento de estos sistemas con énfasis en: (a) Teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales: Centros, función periodo, ciclos límites y método del promedio. (b) Estabilidad asintótica y variedades abiertas: Estabilidad asintótica, variedades abiertas, derivada covariante.
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Los sistemas dinámicos contienen herramientas que permiten la comprensión de los modelos en las ciencias experimentales. Muchos de ellos son inducidos y formulados mediante los sistemas dinámicos continuos que se obtienen de las ecuaciones diferenciales (flujos). La finalidad de este proyecto es avanzar en el conocimiento de estos sistemas poniendo especial énfasis en: (a) Teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales: Retrato de fase, Centro, ciclos límites, el infinito. (b) Curvas analíticas bidimensionales: Módulo de torsión, foliaciones, singularidad, separatriz.
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El lenguaje de foliaciones y webs delimita la forma moderna de tratar con la dinámica y la geometría de las ecuaciones diferenciales complejas. La materia central de este proyecto es el estudio de foliaciones y webs en cercanías infinitesimalmente próximas de las singularidades. El estudio se centra en dimensión 2 y 3 y se direcciona en la busqueda de un teorema de tipo Poincaré-Bendixson infinitesimal. Como aplicaciones inmediatas se tratará la geometría y la dinámica global de foliaciones y webs y sus curvas polares.
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The main aim of the project is to generate new links of scientific cooperation between France and young research teams in Brazil and Peru on the subject of Complex Dynamical Systems.
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