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The present Project proposes the study of the large deviation regime in a class of interacting particle systems. More precisely, we consider processes which are the superposition of two dynamics: the symmetric simple exclusion process (Kawasaki) and a spin-flip process (Glauber). Inspired in the Freidlin and Wentzell theory, the main objective of this project is to stablish a large deviation principle for the stationary measure of such processes with rate function associated to the quasi-potential of the dynamical large deviation rate function.
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The zero range process is an interacting particle system in which many indistinguishable particles occupy sites on a lattice. Each lattice site may contain an integer number of particles and these particles hop between neighboring sites with a rate that depends on the number of particles at the site of departure. In this project we consider a zero range process on a finite (fixed) lattice and in which the rates decrease to a positive constant. Under some conditions on the velocity of convergence of the rates, a condensation phenomenon occurs: the stationary measure concentrates on configurations of particles in which all but a few number of particles occupy one single site. The site with maximal occupancy is called the condensate. It has been studied in [7] the asymptotic evolution of the condensate: Fix an initial configuration of N particles with the majority of them located at one site and observe the position X^N_t of the condensate at each time t. Then, as N goes to infinity, it is proved in [7] that the law of the path X^N converges to the law of a Markov chain on the set o sites. Such result has been obtained under the assumption of reversibility. The objective of this project is to use the recent results obtained in [4] and [6] to extend the result in [7] to the nonreversible case.
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In the article 'Tunneling and metastability for continuous time Markov processes' we introduced the main tools in our approach to the study of metastability. In this approach we use the martingale problem introduced by Stroock and Varadhan to derive the metastable behaviour of continuous-time Markov chains. A key point in this program is a replacement lemma in the same line of argument used in hydrodynamical limit. In order to get this replacement lemma we assume the Markov chain to visit points in the time scale in which it jumps among the metastable sets. The objective of this project is to relax this condition.
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El proceso de rango cero (zero range process) es un sistema estocástico de partículas sin restricciones sobre el número de partículas por sitio y donde la tasa g(.) de salto de una partícula sólo depende del número de partículas que la acompañan. Existe una extensa bibliografía sobre este proceso estocástico y sus aplicaciones en mecánica estadística, teoría de colas y flujo de tráfico entre otras. Ver por ejemplo el libro [KL]. Cuando la tasa de salto g(.) decrece con el número de partículas se crea un efecto de atracción entre ellas. En este caso, ocurre un fenómeno que en la literatura física es llamado condensación. Este fenómeno consiste en ver que, en el equilibrio del sistema, las partículas se concentran en un sólo sitio. Este grupo de partículas concentradas en un sitio es llamado condensado de partículas. En el artículo [BL] estudiamos el comportamiento del condensado de un proceso de rango cero sujeto al fenómeno de condensación y donde el número de sitios k no depende del número N de partículas (volumen finito). En la escala de tiempo adecuada probamos que, cuando N va a infinito, la posición del condensado de partículas evoluciona como un proceso de Markov sobre los k sitios. En este proyecto consideramos el mismo proceso ahora en una escala de tiempo menor. Esta escala de tiempo será la adecuada para estudiar otro aspecto de la condensación llamado nucleación, es decir, la trayectoria seguida por el proceso hasta que el condensado de partículas se origina. Nuestro objetivo es probar que la nucleación ocurre en la escala de tiempo N^2. Además, describiremos el comportamiento del proceso durante la nucleación. En particular, probaremos las siguientes dos propiedades: (1) si en algún instante la densidad de partículas en un sitio llega a ser nula, continuará siendo nula hasta el fin de la nucleación y (2) los sitios con densidad positiva compiten entre ellos siguiendo una difusión de Ito hasta que uno de los sitios se vacía (densidad nula).
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El presente proyecto propone el estudio de la dinámica local de un germen de foliación o campo analítico en las cercanías de una singularidad. Trataremos principalmente sistemas en dimensión 2 y 3 y el objetivo es realizar un aporte a la clasificación analítico-topológica de estos sistemas así como a la comprensión de la dinámica de estos objetos
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El proyecto consiste en dos líneas de trabajo: Por un lado, luego del artículo 'Tunneling and metastability for continuous time Markov processes' en el que establecemos los principales resultados e introducimos las principales herramientas que hemos creado para abordar el fenómeno de metastabilidad, hemos aplicado con éxito nuestros resultados en diversos modelos (ver los artículos publicados en mi CVPUCP). Sin embargo, nuestros resultados no se consiguen aplicar a modelos relevantes en donde no hay reversibilidad del proceso o no hay puntos atractores. Creemos que las principales ideas (innovadoras) de nuestro trabajo: uso del problema martingala y uso del trazo de un proceso, aún pueden ser extendidos a estos tipos de modelos. Ya tenemos resultados previos bastante positivos para relajar la reversibilidad. Para relajar la existencia de puntos atractores intentaremos usar las medidas quasiestacionarias. Por otro lado, grafos aleatorio sobre la esfera (planar maps) es un asunto interesante en gravedad cuántica y teoría combinatoria. El matemático francés, Jean-Francois Le Gall, consiguió probar que el límite de escala es un espacio métrico construido a partir del movimiento browniano, al cual se ha llamado 'Brownian map'. Se cree que si se condicionan los grafos aletorios a no tener aristas múltiples el límite deberia continuar siendo el 'Brownian map'. En esta dirección, tenemos resultados previos que nos dicen que al condicionar los grafos a no tener vértices de grado uno, el límite continúa siendo el 'Brownian map'. Nuestra expectativa es obtener 4 artículos (2 sobre cada asunto) a ser publicados en revistas internacionales arbitradas ISI.
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